Упр.1008 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие условию:
а) $$x\mathbf{i}+y\mathbf{j}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}$$;
б) $$-3\mathbf{i}+y\mathbf{j}=x\mathbf{i}+7\mathbf{j}$$;
в) $$x\mathbf{i}+y\mathbf{j}=-4\mathbf{i}$$;
г) $$x\mathbf{i}+y\mathbf{j}=0$$. - Дан параллелограмм $$ABCD$$. Докажите, что для всех точек $$M$$ величина $$\left(AM^2+CM^2\right)-\left(BM^2+DM^2\right)$$ имеет одно и то же значение.
Пусть в параллелограмме $$ABCD$$ введены координаты так, что
$$A(0;0),\quad B(b;c),\quad C(a+b;c),\quad D(a;0),\quad M(x;y).$$
Тогда
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(a+b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$BM^2=(b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2.$$
Рассмотрим разность:
$$\begin{aligned} (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) &=x^2+y^2+(a+b-x)^2+(c-y)^2 \\ &\quad -(b-x)^2-(c-y)^2-(a-x)^2-y^2. \end{aligned}$$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$\begin{aligned} (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) &=x^2+(a+b-x)^2-(b-x)^2-(a-x)^2 \\ &=x^2+\bigl(a^2+b^2+x^2+2ab-2ax-2bx\bigr) \\ &\quad -\bigl(b^2-2bx+x^2\bigr)-\bigl(a^2-2ax+x^2\bigr) \\ &=2ab. \end{aligned}$$
Получилось число, не зависящее от положения точки $$M$$. Значит, для всех точек $$M$$ величина $$\left(AM^2+CM^2\right)-\left(BM^2+DM^2\right)$$ постоянна и равна $$2ab$$.
Ответ: величина не зависит от точки $$M$$; она равна $$2ab$$.
