Упр.1007 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Запишите разложение по координатным векторам $$\mathbf{i}$$ и $$\mathbf{j}$$ вектора: а) $$x\{-3;\frac{1}{5}\}$$; б) $$y\{-2;-3\}$$; в) $$z\{-1;0\}$$; г) $$u\{0;3\}$$; д) $$v\{0;1\}$$.
- Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.
Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{MN}$$:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$$
С другой стороны, можно пройти от $$M$$ к $$N$$ через точки $$C$$ и $$B$$:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}.$$
Сложим эти равенства:
$$2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}).$$
Так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$N$$ — середина $$BD$$, то
$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}, \qquad \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{0}.$$
Тогда
$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$
Но в трапеции $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ параллельны и направлены в разные стороны, поэтому
$$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}.$$
Следовательно,
$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC},$$
$$\overrightarrow{MN}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right).$$
Так как эти векторы коллинеарны, то для длин получаем:
$$MN=\frac12\left(AD-BC\right).$$
Ответ: $$MN=\frac12(AD-BC).$$
