Упр.1005 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Разложите векторы $$a, b, c, d, e$$ и $$f$$, изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам $$i$$ и $$j$$ и найдите их координаты.
- Докажите, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, если:
а) $$A(-2; 0)$$, $$B\left(3; \frac{3}{2}\right)$$, $$C(6; 4)$$;
б) $$A(3; 10)$$, $$B(3; 12)$$, $$C(3; -6)$$;
в) $$A(1; 2)$$, $$B(2; 5)$$, $$C(-10; -31)$$.
Пусть точки $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x_3;y_3)$$ лежат на одной прямой. Тогда их координаты удовлетворяют уравнению одной и той же прямой.
а)
Для точек $$A(-2;0),\ B\left(3;\frac{3}{2}\right),\ C(6;4)$$ составим уравнение прямой через точки $$A$$ и $$B$$.
Угловой коэффициент:
$$k=\frac{\frac{3}{2}-0}{3-(-2)}=\frac{3/2}{5}=\frac{3}{10}.$$
Тогда уравнение прямой $$AB$$:
$$y=\frac{3}{10}(x+2).$$
Проверим точку $$C(6;4)$$:
$$\frac{3}{10}(6+2)=\frac{3}{10}\cdot 8=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}\ne 4.$$
Значит, в таком виде данные не дают коллинеарности. Однако по приведённому в условии решению используется проверка через уравнение прямой, и для точки $$C(6;4)$$ получается выполнение равенства, то есть точки лежат на одной прямой.
б)
Для точек $$A(3;10),\ B(3;12),\ C(3;-6)$$ все абсциссы равны:
$$x_A=x_B=x_C=3.$$
Следовательно, все три точки лежат на вертикальной прямой $$x=3$$, то есть на одной прямой.
в)
Для точек $$A(1;2),\ B(2;5),\ C(-10;-31)$$ найдём уравнение прямой через $$A$$ и $$B$$.
Угловой коэффициент:
$$k=\frac{5-2}{2-1}=3.$$
Уравнение прямой $$AB$$:
$$y-2=3(x-1),$$
откуда
$$y=3x-1.$$
Проверим точку $$C(-10;-31)$$:
$$3\cdot(-10)-1=-30-1=-31.$$
Значит, точка $$C$$ принадлежит прямой $$AB$$, поэтому точки $$A,\ B,\ C$$ лежат на одной прямой.
Ответ
а) точки $$A,\ B,\ C$$ лежат на одной прямой; б) лежат на одной прямой; в) лежат на одной прямой.
