Упр.1005 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Разложите векторы а, b, с, d, е и f, изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам i и j и наидите их координаты. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если: а) А (-2; 0), В (3; 3/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6); в) А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).

Разложим каждый вектор по координатным векторам $$\mathbf{i}$$ и $$\mathbf{j}$$:

$$\mathbf{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}\Rightarrow \mathbf{a}=(2;3),$$
$$\mathbf{b}=-2\mathbf{i}+3\mathbf{j}\Rightarrow \mathbf{b}=(-2;3),$$
$$\mathbf{c}=2\mathbf{i}\Rightarrow \mathbf{c}=(2;0),$$
$$\mathbf{d}=-4\mathbf{j}-3\mathbf{i}\Rightarrow \mathbf{d}=(-3;-4),$$
$$\mathbf{e}=2\mathbf{i}-2\mathbf{j}\Rightarrow \mathbf{e}=(2;-2),$$
$$\mathbf{f}=-4\mathbf{i}-5\mathbf{j}\Rightarrow \mathbf{f}=(-4;-5).$$

Докажем, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

а) $$A(-2;0),\ B(3;\tfrac{3}{2}),\ C(6;4).$$

Найдём уравнение прямой $$AB$$. Подставим координаты точек $$A$$ и $$B$$ в общее уравнение прямой $$ax+by+c=0$$:

$$ \begin{cases} -2a+c=0,\\ 3a+\frac{3}{2}b+c=0. \end{cases} $$

Из системы получаем $$a=\frac{1}{2}c,\ b=-c$$. Тогда уравнение прямой можно записать так:

$$\frac{1}{2}cx-cy+c=0.$$

Умножим на $$2/c$$:

$$x-2y+2=0.$$

Проверим точку $$C(6;4)$$:

$$6-2\cdot 4+2=0.$$

Значит, $$C\in AB$$, следовательно, $$A,B,C$$ лежат на одной прямой.

б) $$A(3;10),\ B(3;12),\ C(3;-6).$$

Для точек $$A$$ и $$B$$ получаем:

$$ \begin{cases} 3a+10b+c=0,\\ 3a+12b+c=0. \end{cases} $$

Вычитая первое уравнение из второго, имеем $$2b=0$$, значит $$b=0$$. Тогда $$3a+c=0$$, то есть $$a=-\frac{1}{3}c$$.

Уравнение прямой:

$$-\frac{1}{3}cx+c=0.$$

Умножим на $$-\frac{3}{c}$$:

$$x-3=0.$$

Проверим точку $$C(3;-6)$$:

$$3-3=0.$$

Следовательно, $$C\in AB$$, значит, точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой.

в) $$A(1;2),\ B(2;5),\ C(-10;-31).$$

Составим систему для прямой $$AB$$:

$$ \begin{cases} a+2b+c=0,\\ 2a+5b+c=0. \end{cases} $$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем:

$$a+3b=0.$$

Из первого уравнения:

$$a=-2b-c.$$

Подставим в $$a+3b=0$$:

$$-2b-c+3b=0 \Rightarrow b=c,$$

тогда $$a=-3c$$. Уравнение прямой:

$$-3cx+cy+c=0.$$

Умножим на $$-\frac{1}{c}$$:

$$3x-y-1=0.$$

Проверим точку $$C(-10;-31)$$:

$$3\cdot(-10)-(-31)-1=0.$$

Значит, $$C\in AB$$, следовательно, точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой.

Ответ

$$\mathbf{a}=(2;3),\ \mathbf{b}=(-2;3),\ \mathbf{c}=(2;0),\ \mathbf{d}=(-3;-4),\ \mathbf{e}=(2;-2),\ \mathbf{f}=(-4;-5).$$
Точки $$A,B,C$$ в пунктах а), б), в) лежат на одной прямой.