Упр.1003 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$a$$ и $$b$$ неколлинеарны. Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие равенству:
   а) $$3a-xb=ya+b$$;
   б) $$4a-xa+5b+yb=0$$;
   в) $$xa+3b-yb=0$$;
   г) $$a+b-3ya+xb=0$$.
2. Вершины треугольника $$ABC$$ имеют координаты $$A(-7; 5)$$, $$B(3; -1)$$, $$C(5; 3)$$. Составьте уравнения:
   а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
   б) прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$;
   в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то равенство вида

$$\alpha \vec a+\beta \vec b=0$$

возможно только при

$$\alpha=0,\qquad \beta=0.$$

1. $$3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b.$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\left(3-y\right)\vec a+\left(-x-1\right)\vec b=0.$$

   Тогда

   $$3-y=0,\qquad -x-1=0.$$

   Отсюда

   $$y=3,\qquad x=-1.$$

2. $$4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0.$$

   Соберём подобные слагаемые:

   $$\left(4-x\right)\vec a+\left(5+y\right)\vec b=0.$$

   Следовательно,

   $$4-x=0,\qquad 5+y=0.$$

   Значит,

   $$x=4,\qquad y=-5.$$

3. $$x\vec a+3\vec b-y\vec b=0.$$

   Имеем

   $$x\vec a+\left(3-y\right)\vec b=0.$$

   Тогда

   $$x=0,\qquad 3-y=0.$$

   Следовательно,

   $$x=0,\qquad y=3.$$

4. $$\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0.$$

   Приведём подобные:

   $$\left(1-3y\right)\vec a+\left(1+x\right)\vec b=0.$$

   Значит,

   $$1-3y=0,\qquad 1+x=0.$$

   Отсюда

   $$y=\frac13,\qquad x=-1.$$

Ответ

а) $$x=-1,\ y=3$$; б) $$x=4,\ y=-5$$; в) $$x=0,\ y=3$$; г) $$x=-1,\ y=\frac13$$.