Упр.1002 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причём AM : МС = 4:1. Разложите вектор AM по векторам а = АВ и b = AD. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А (1;-4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2).
Так как точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$ и $$AM:MC=4:1$$, то
$$\overrightarrow{AM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}.$$
В параллелограмме диагональ выражается через стороны:
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$
Обозначая $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{AD}$$, получаем
$$\overrightarrow{AM}=\frac{4}{5}\left(\vec a+\vec b\right).$$
Теперь найдём уравнения окружностей, проходящих через точки $$A$$, $$B$$, $$C$$.
а) Пусть центр окружности $$O(x;y)$$. Тогда
$$AO^2=BO^2,\qquad BO^2=CO^2.$$
Составим уравнения:
$$ (1-x)^2+(-4-y)^2=(4-x)^2+(5-y)^2 $$
$$ (4-x)^2+(5-y)^2=(3-x)^2+(-2-y)^2 $$
После упрощения получаем систему:
$$ x+3y-4=0, $$
$$ x+7y-14=0. $$
Вычитая первое уравнение из второго, находим:
$$ 4y=10,\qquad y=\frac{5}{2}. $$
Тогда
$$ x=4-3\cdot \frac{5}{2}=-\frac{7}{2}. $$
Значит, центр окружности $$O\left(-\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right)$$. Радиус:
$$ R^2=\left(1+\frac{7}{2}\right)^2+\left(-4-\frac{5}{2}\right)^2 =\left(\frac{9}{2}\right)^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2 =\frac{81+169}{4}=\frac{250}{4}=\frac{125}{2}. $$
Следовательно, уравнение окружности:
$$ \left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2}. $$
б) Пусть центр окружности $$O(x;y)$$. Тогда
$$ (3-x)^2+(-7-y)^2=(8-x)^2+(-2-y)^2 $$
$$ (8-x)^2+(-2-y)^2=(6-x)^2+(2-y)^2. $$
После упрощения получаем систему:
$$ x+y-1=0, $$
$$ x-2y-7=0. $$
Решая её, находим:
$$ y=-2,\qquad x=3. $$
Значит, центр окружности $$O(3;-2)$$, а радиус
$$ R^2=(6-3)^2+(2+2)^2=9+16=25. $$
Следовательно, уравнение окружности:
$$ (x-3)^2+(y+2)^2=25. $$
Ответ
$$\overrightarrow{AM}=\frac{4}{5}\left(\vec a+\vec b\right);$$
а) $$\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2};$$
б) $$\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=25.$$
