Упр.1001 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то: а) векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ не коллинеарны; б) векторы $$2\vec a-\vec b$$ и $$\vec a+\vec b$$ не коллинеарны; в) векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a+3\vec b$$ не коллинеарны.
- Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $$A(3;0)$$ и $$B(-1;2)$$, если центр её лежит на прямой $$y=x+2$$.
Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y).$$ Тогда, так как окружность проходит через точки $$A(3;0)$$ и $$B(-1;2),$$ её радиусы равны:
$$R=AO=\sqrt{(3-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt{(3-x)^2+y^2},$$
$$R=BO=\sqrt{(-1-x)^2+(2-y)^2}=\sqrt{(-1-x)^2+(2-y)^2}.$$
Приравняем выражения для радиуса:
$$(3-x)^2+y^2=(-1-x)^2+(2-y)^2.$$
Раскроем скобки:
$$9-6x+x^2+y^2=1+2x+x^2+4-4y+y^2,$$
$$9-6x=2x-4y+5,$$
$$8x-4y-4=0,$$
$$2x-y-1=0.$$
Так как центр лежит на прямой $$y=x+2,$$ решаем систему:
$$\begin{cases} 2x-y-1=0,\\ y=x+2. \end{cases}$$
Подставим $$y=x+2$$ в первое уравнение:
$$2x-(x+2)-1=0,$$
$$x=3,$$
$$y=5.$$
Значит, центр окружности $$O(3;5).$$ Найдём радиус:
$$R=AO=\sqrt{(3-3)^2+(0-5)^2}=5.$$
Тогда уравнение окружности:
$$(x-3)^2+(y-5)^2=25.$$
Ответ: $$(x-3)^2+(y-5)^2=25.$$
