Упр.15.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что отношение длин отрезков Х1Х2 : Х2Х3 не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых.
Дано: параллельные плоскости Альфа1,Альфа2,Альфа3; X1,X2,X3-точки пересечения
этих плоскостей с произвольной прямой;
Доказать: отношение X1 X2 :X2 X3 не зависит от прямой, то есть
одинаково для любых двух прямых;
Доказательство:
1) Построим прямую, параллельную прямой X1 X3,пересекающую данные
плоскости в точках Y1,Y2 и Y3;
2) Так как прямые X1 X3 и Y1 Y3 параллельны, то они лежат в одной
плоскости, значит прямые X1 Y1,X2 Y2 и X3 Y3,по которым эта плоскость
пересекает плоскости Альфа1,Альфа2 и Альфа3,параллельны;
3) Четырехугольники X1 Y1 Y2 X2 и X2 Y2 Y3 X3 являются параллелограммами
по определению, значит:
X1 X2=Y1 Y2 и X2 X3=Y2 Y3,отсюда X1 X2 :X2 X3=Y1 Y2 :Y2 Y3;
4) Пусть Z1,Z2 и Z3-точки пересечения произвольной прямой с
плоскостями Альфа1,Альфа2 и Альфа3;
5) Проведем через точку Z3 прямую, параллельную прямой X1 X3,и
пересекающую плоскости Альфа1 и Альфа2 в точках T1 и T2 по доказанному:
T1 T2 :T2 Z3=X1 X2 :X2 X3;
6) Так как прямые Z1 Z3 и T1 Z3 пересекаются, то через них можно
провести плоскость, значит прямые Z1 T1 и Z2 T2,по которым эта плоскость
пересекает плоскости Альфа1 и Альфа2,параллельны;
7) По теореме о пропорциональных отрезках:
Z1 Z2 :Z2 Z3=T1 T2 :T2 Z3=X1 X2 :X2 X3,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть плоскости $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$ параллельны. Возьмём произвольную прямую, пересекающую их в точках $$X_1,X_2,X_3$$, и проведём через точку $$X_3$$ прямую, параллельную прямой $$X_1X_3$$. Она пересечёт плоскости $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$ в точках $$Y_1,Y_2,Y_3$$.

Так как прямые $$X_1X_3$$ и $$Y_1Y_3$$ параллельны, то они лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые $$X_1Y_1,\;X_2Y_2,\;X_3Y_3$$, по которым эта плоскость пересекает плоскости $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$, параллельны.

Тогда четырёхугольники $$X_1Y_1Y_2X_2$$ и $$X_2Y_2Y_3X_3$$ являются параллелограммами, значит

$$X_1X_2=Y_1Y_2,\qquad X_2X_3=Y_2Y_3.$$

Отсюда

$$X_1X_2:X_2X_3=Y_1Y_2:Y_2Y_3.$$

Теперь пусть $$Z_1,Z_2,Z_3$$ — точки пересечения с теми же плоскостями произвольной другой прямой. Проведём через точку $$Z_3$$ прямую, параллельную $$X_1X_3$$, и обозначим точки её пересечения с плоскостями $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ через $$T_1$$ и $$T_2$$. По уже доказанному

$$T_1T_2:T_2Z_3=X_1X_2:X_2X_3.$$

Так как прямые $$Z_1Z_3$$ и $$T_1Z_3$$ пересекаются, то через них можно провести плоскость. В этой плоскости прямые $$Z_1T_1$$ и $$Z_2T_2$$, по которым она пересекает плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$, параллельны. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

$$Z_1Z_2:Z_2Z_3=T_1T_2:T_2Z_3.$$

Следовательно,

$$Z_1Z_2:Z_2Z_3=X_1X_2:X_2X_3.$$

Значит, отношение $$X_1X_2:X_2X_3$$ не зависит от выбора прямой.