Упр.14.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны;
площадь парралелограмма равна половине площади прямоугольника;
Найти: острый угол параллелограмма;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм и A1 B1 C1 D1-прямоугольник,
у которых: AB=A1 B1=a и AD=A1 D1=b;
2) Из вершины B на сторону AD опустим высоту BH параллелограмма;
3) По условию задачи:
SABCD/S(A1 B1 C1 D1 ) =(AD•BH)/(A1 D1•A1 B1 )=(b•BH)/(b•a)=BH/a=1/2, отсюда BH=a/2;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB:
sin угла A=BH/AB=a/2 :a=1/2, отсюда угол A=30°;
Ответ: 30°.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник, у которых $$AB=A_1B_1=a$$ и $$AD=A_1D_1=b$$.

Из вершины $$B$$ опустим на сторону $$AD$$ высоту $$BH$$.

Тогда площадь параллелограмма равна

$$S_{ABCD}=AD\cdot BH=b\cdot BH,$$

а площадь прямоугольника равна

$$S_{A_1B_1C_1D_1}=A_1D_1\cdot A_1B_1=b\cdot a.$$

По условию $$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}S_{A_1B_1C_1D_1}$$, значит

$$\frac{b\cdot BH}{b\cdot a}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$\frac{BH}{a}=\frac{1}{2}, \qquad BH=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHB$$. Тогда