Вопрос 9 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, $$O$$ — центр вписанной в него окружности, а $$D$$, $$E$$ и $$F$$ — точки касания окружности со сторонами треугольника.

Так как радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной, то

$$\angle AEO=\angle BDO=\angle CFO=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOD$$ и $$AOE$$. У них:

• $$AO$$ — общая гипотенуза;
• $$OD=OE$$ как радиусы одной окружности.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle AOE$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$\angle OAD=\angle OAE,$$

то есть точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$CAB$$.

Аналогично доказывается, что $$O$$ лежит на биссектрисах углов $$ACB$$ и $$CBA$$.

Значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.