Упр.15.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны три параллельные плоскости $$\alpha_1$$, $$\alpha_2$$, $$\alpha_3$$. Пусть $$X_1$$, $$X_2$$, $$X_3$$ — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков $$X_1X_2:X_2X_3$$ не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых.

Проведём через точки $$X_1$$ и $$X_3$$ прямую и обозначим через $$Y_1, Y_2, Y_3$$ точки её пересечения с плоскостями $$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$$ соответственно.

Так как прямые $$X_1X_3$$ и $$Y_1Y_3$$ параллельны, то они лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые $$X_1Y_1$$, $$X_2Y_2$$ и $$X_3Y_3$$, по которым эта плоскость пересекает плоскости $$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$$, параллельны.

Четырёхугольники $$X_1Y_1Y_2X_2$$ и $$X_2Y_2Y_3X_3$$ являются параллелограммами, поэтому

$$X_1X_2=Y_1Y_2,\qquad X_2X_3=Y_2Y_3.$$

Отсюда

$$X_1X_2:X_2X_3=Y_1Y_2:Y_2Y_3.$$

Теперь возьмём произвольную прямую, пересекающую плоскости $$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$$ в точках $$Z_1, Z_2, Z_3$$. Проведём через точку $$Z_3$$ прямую, параллельную $$X_1X_3$$, и обозначим точки её пересечения с плоскостями $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ через $$T_1$$ и $$T_2$$.

По уже доказанному

$$T_1T_2:T_2Z_3=X_1X_2:X_2X_3.$$

Так как прямые $$Z_1Z_3$$ и $$T_1Z_3$$ пересекаются, то через них можно провести плоскость. Тогда прямые $$Z_1T_1$$ и $$Z_2T_2$$, по которым эта плоскость пересекает плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$, параллельны.

По теореме о пропорциональных отрезках получаем:

$$Z_1Z_2:Z_2Z_3=T_1T_2:T_2Z_3.$$

Следовательно,

$$Z_1Z_2:Z_2Z_3=X_1X_2:X_2X_3.$$

Значит, отношение $$X_1X_2:X_2X_3$$ не зависит от выбора прямой, что и требовалось доказать.