Упр.11.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.

Пусть дан треугольник $$ABC$$.

1. На стороне $$AC$$ отметим произвольную точку $$E_1$$ и проведём через неё прямую, перпендикулярную $$AC$$. Эта прямая пересечёт сторону $$AB$$ в точке $$F_1$$.
2. На стороне $$AC$$ отложим отрезок $$E_1H_1$$, равный отрезку $$E_1F_1$$.
3. Через точки $$H_1$$ и $$F_1$$ проведём прямые, перпендикулярные соответственно отрезкам $$E_1H_1$$ и $$E_1F_1$$. Точку их пересечения обозначим $$G_1$$.
4. Проведём луч $$AG_1$$ и отметим точку $$G$$ его пересечения со стороной $$BC$$.
5. Опустим из точки $$G$$ перпендикуляр $$GH$$ на сторону $$AC$$.
6. На стороне $$AC$$ отложим отрезок $$HE$$, равный отрезку $$GH$$.
7. Через точку $$G$$ проведём прямую, перпендикулярную $$GH$$, и отметим точку $$F$$ её пересечения со стороной $$AB$$.

Четырёхугольник $$EFGH$$ — искомый квадрат: по построению $$EF \perp AC$$ и $$GH \perp AC$$, значит $$EF \parallel GH$$; кроме того, $$FG \perp GH$$ и $$EH \subset AC$$, поэтому $$FG \parallel EH$$. Так как $$HE=GH$$, а противоположные стороны попарно параллельны, то $$EFGH$$ — параллелограмм с прямым углом и равными смежными сторонами, то есть квадрат.