Вопрос 9 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.

Пусть вектор $$\vec a$$ задан точками $$A_1(x_1;y_1)$$ и $$A_2(x_2;y_2)$$, то есть $$\vec a=\overrightarrow{A_1A_2}$$. Тогда его координаты равны

$$\vec a=(x_2-x_1;\,y_2-y_1).$$

Если вектор $$\vec a’$$ равен вектору $$\vec a$$, то он получается из него параллельным переносом. При этом точки $$A_1$$ и $$A_2$$ переходят в точки $$A_1′(x_1+c;\,y_1+d)$$ и $$A_2′(x_2+c;\,y_2+d)$$.

Найдём координаты вектора $$\vec a’=\overrightarrow{A_1’A_2′}$$:

$$\vec a’=\bigl((x_2+c)-(x_1+c);\,(y_2+d)-(y_1+d)\bigr) =(x_2-x_1;\,y_2-y_1).$$

Значит, равные векторы имеют соответственно равные координаты.

Обратно, пусть для векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1’A_2′}$$ соответствующие координаты равны:

$$x_2-x_1=x_2′-x_1′, \qquad y_2-y_1=y_2′-y_1′.$$

Тогда

$$x_2’=x_2+x_1′-x_1, \qquad y_2’=y_2+y_1′-y_1.$$

Рассмотрим параллельный перенос, заданный формулами

$$x’=x+x_1′-x_1, \qquad y’=y+y_1′-y_1.$$

Он переводит точку $$A_1$$ в точку $$A_1’$$ и точку $$A_2$$ в точку $$A_2’$$. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1’A_2′}$$ равны.

Итак, векторы с соответственно равными координатами равны.