Упр.9.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.

Подробный ответ

Пусть у четырёхугольника $$ABCD$$ точка $$O$$ — центр симметрии. Тогда при центральной симметрии относительно точки $$O$$ вершина $$A$$ переходит в вершину $$C$$, а вершина $$B$$ — в вершину $$D$$.

По определению центральной симметрии точка $$O$$ является серединой отрезков $$AC$$ и $$BD$$, то есть

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Значит, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Но если диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.