Вопрос 8 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм. Проведём диагональ $$BD$$ и отметим на ней середину $$O$$. На продолжении отрезка $$AO$$ отложим отрезок $$OC_1$$, равный $$AO$$.
По теореме о параллелограмме, если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, то он является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник $$ABC_1D$$ — параллелограмм.
Тогда $$BC_1 \parallel AD$$. Но через точку $$B$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$AD$$, значит, $$BC_1$$ совпадает с прямой $$BC$$.
Аналогично получаем, что $$DC_1$$ совпадает с прямой $$DC$$. Значит, точка $$C_1$$ совпадает с точкой $$C$$.
Итак, параллелограмм $$ABCD$$ совпадает с параллелограммом $$ABC_1D$$. Следовательно, его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
