Упр.12.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 8. Найдите высоты треугольника в задаче 1.

Подробный ответ

Пусть стороны треугольника равны $$a=5\text{ м},\; b=6\text{ м},\; c=7\text{ м}.$$

Используем формулы для высот треугольника, выраженные через его стороны:

$$ h_a=\sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2},\qquad h_b=\sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2b}\right)^2},\qquad h_c=\sqrt{b^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)^2}. $$

Найдём высоту, опущенную на сторону $$a$$:

$$ h_a=\sqrt{7^2-\left(\frac{7^2+5^2-6^2}{2\cdot 5}\right)^2} =\sqrt{49-\left(\frac{38}{10}\right)^2} =\sqrt{49-\left(\frac{19}{5}\right)^2} $$
$$ =\sqrt{\frac{1225-361}{25}} =\sqrt{\frac{864}{25}} =\sqrt{\frac{144\cdot 6}{25}} =\frac{12\sqrt6}{5}\text{ м}. $$

Найдём высоту, опущенную на сторону $$b$$:

$$ h_b=\sqrt{7^2-\left(\frac{7^2+6^2-5^2}{2\cdot 6}\right)^2} =\sqrt{49-\left(\frac{60}{12}\right)^2} =\sqrt{49-5^2} =\sqrt{24} =2\sqrt6\text{ м}. $$

Найдём высоту, опущенную на сторону $$c$$:

$$ h_c=\sqrt{6^2-\left(\frac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot 7}\right)^2} =\sqrt{36-\left(\frac{60}{14}\right)^2} =\sqrt{36-\left(\frac{30}{7}\right)^2} $$
$$ =\sqrt{\frac{1764-900}{49}} =\sqrt{\frac{864}{49}} =\sqrt{\frac{144\cdot 6}{49}} =\frac{12\sqrt6}{7}\text{ м}. $$