Упр.15.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку $$A$$, пересекают плоскость $$\alpha$$ в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную $$\alpha$$ и не проходящую через точку $$A$$, тоже в вершинах параллелограмма.

Пусть данные прямые пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках $$K_1, K_2, K_3, K_4$$, а любую плоскость $$\beta \parallel \alpha$$, не проходящую через точку $$A$$, — в точках $$M_1, M_2, M_3, M_4$$.

Рассмотрим прямые $$K_1M_1$$ и $$K_2M_2$$. Они пересекаются в точке $$A$$, значит, через них можно провести плоскость $$\gamma$$.

Плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$K_1K_2$$ и $$M_1M_2$$. Следовательно,

$$K_1K_2 \parallel M_1M_2.$$

Аналогично получаем:

$$K_2K_3 \parallel M_2M_3,\qquad K_3K_4 \parallel M_3M_4,\qquad K_1K_4 \parallel M_1M_4.$$

По условию $$K_1K_2K_3K_4$$ — параллелограмм, значит,

$$K_1K_2 \parallel K_3K_4,\qquad K_2K_3 \parallel K_1K_4.$$

Тогда из параллельности соответствующих прямых имеем:

$$M_1M_2 \parallel K_1K_2 \parallel K_3K_4 \parallel M_3M_4,$$

то есть

$$M_1M_2 \parallel M_3M_4.$$

Аналогично,

$$M_2M_3 \parallel K_2K_3 \parallel K_1K_4 \parallel M_1M_4,$$

то есть

$$M_2M_3 \parallel M_1M_4.$$

Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника $$M_1M_2M_3M_4$$ попарно параллельны, значит, он является параллелограммом.

Ответ

Четырёхугольник $$M_1M_2M_3M_4$$ — параллелограмм.