Вопрос 8 Параграф 2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если при пересечении двух прямых один из углов прямой,
то остальные углы тоже прямые;
Доказательство:
1) Пусть прямые a и b точкой пересечения разбиваются на четыре
полупрямые, лучи a1 и a2, b1 и b2-будут дополнительными;
2) Пусть, образованный этими прямыми угол (a1 b1)-прямой;
3) Углы (a1 b2) и (a1 b1) являются смежными, значит угол (a1 b2)
также является прямым согласно следствию из теоремы 2.1;
4) Углы (a2 b1) и (a2 b2) являются вертикальными с углами (a1 b1) и
(a1 b2), значит они также являются прямыми согласно теореме 2.2;
5) Таким образом, все четыре образованных угла являются прямыми,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке и образуют четыре луча $$a_1, a_2, b_1, b_2$$, причём лучи $$a_1$$ и $$a_2$$, $$b_1$$ и $$b_2$$ — дополнительные.

Пусть один из углов, например $$\angle(a_1b_1)$$, прямой, то есть $$\angle(a_1b_1)=90^\circ$$.

Тогда смежный с ним угол $$\angle(a_1b_2)$$ равен

$$\angle(a_1b_2)=180^\circ-90^\circ=90^\circ,$$

значит, он тоже прямой.

Углы $$\angle(a_2b_1)$$ и $$\angle(a_2b_2)$$ являются вертикальными соответственно углам $$\angle(a_1b_2)$$ и $$\angle(a_1b_1)$$. Вертикальные углы равны, следовательно,

$$\angle(a_2b_1)=90^\circ,\qquad \angle(a_2b_2)=90^\circ.$$

Итак, все четыре угла при пересечении двух прямых являются прямыми.