Вопрос 8 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — две соседние вершины правильного многоугольника. Проведём биссектрисы углов при вершинах $$A$$ и $$B$$; они пересекутся в точке $$O$$.

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, а углы при основании равны $$\frac{\alpha}{2}$$, где $$\alpha$$ — угол правильного многоугольника.

Соединим точку $$O$$ с вершиной $$C$$, соседней с $$B$$. Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$CBO$$:

$$AB=CB$$ — как стороны правильного многоугольника, $$OB$$ — общая сторона, а $$\angle ABO=\angle OBC=\frac{\alpha}{2}$$. Значит, треугольники равны по первому признаку.

Отсюда следует, что $$\triangle CBO$$ равнобедренный, поэтому $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$. Аналогично, если соединить $$O$$ с следующей вершиной $$D$$, то получим, что $$DO$$ — биссектриса угла $$D$$ и так далее для всех вершин многоугольника.

Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин правильного многоугольника. Значит, все его вершины лежат на окружности с центром $$O$$, то есть правильный многоугольник является вписанным в окружность.

Кроме того, из равенства треугольников, образованных центром $$O$$ и соседними сторонами многоугольника, следует, что расстояния от $$O$$ до всех сторон одинаковы. Эти расстояния равны перпендикулярам, опущенным из $$O$$ на стороны, значит, все стороны касаются окружности с центром $$O$$. Следовательно, правильный многоугольник является и описанным около окружности.