Упр.11.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны угол и внутри его точка $$A$$. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку $$A$$.

Пусть дан угол с вершиной $$O$$ и точка $$A$$, лежащая внутри него.

1. Построим биссектрису $$OF$$ данного угла.
2. Из точки $$F$$ опустим перпендикуляр $$FB$$ на одну из сторон угла.
3. Проведём окружность с центром в точке $$F$$ и радиусом $$FB$$. Эта окружность касается обеих сторон угла, так как точка $$F$$ лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон.
4. Проведём луч $$OA$$ и отметим точку $$H$$ на пересечении этого луча с построенной окружностью.
5. Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную прямой $$HF$$, и обозначим через $$F_1$$ точку её пересечения с биссектрисой $$OF$$.
6. Проведём окружность с центром в точке $$F_1$$ и радиусом $$F_1A$$. Она проходит через точку $$A$$.

Так как $$F_1$$ лежит на биссектрисе угла, то расстояния от $$F_1$$ до сторон угла равны. Следовательно, окружность с центром $$F_1$$ и радиусом $$F_1A$$ касается обеих сторон угла и проходит через точку $$A$$.