Вопрос 8 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Подробный ответ

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Докажем это.

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнены условия:

$$\angle C=\angle C_1,$$

$$AC=k\cdot A_1C_1,\qquad BC=k\cdot B_1C_1.$$

Построим треугольник $$A_2B_2C_2,$$ подобный треугольнику $$A_1B_1C_1$$ с коэффициентом подобия $$k$$. Тогда

$$A_2C_2=k\cdot A_1C_1=AC,$$

$$B_2C_2=k\cdot B_1C_1=BC,$$

а также $$\angle C_2=\angle C_1=\angle C,$$ так как при подобии углы сохраняются.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, они подобны.

Но треугольник $$A_2B_2C_2$$ подобен треугольнику $$A_1B_1C_1$$, поэтому по свойству транзитивности подобия треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ тоже подобны.

Таким образом, признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними доказан.