Упр.9.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: у параллелограмма точка пересечения диагоналей является
центром симметрии;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-параллелограмм и O-точка пересечения диагоналей;
2) По свойству параллелограмма:
AB||CD, BC||AD, AO=OC и BO=OD;
3) Таким образом, при преобразовании симметрии относительно
точки O вершина A переходит в вершину C, а вершина B переходит в
вершину D и наоборот;
4) Возьмем произвольную точку E на стороне BC, проведем прямую EO
и отметим точку F на пересечении этой прямой и стороны AD;
5) Углы AOF и EOC равны как вертикальные;
6) Углы OAF и OCE равны как внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых AD и BC и секущей EF;
7) Треугольники AOF и COE равны по второму признаку, отсюда
OE=OF, следовательно точки E и F симметричны относительно
точки O;
8) Аналогично, доказывается что произвольная точка стороны AB
переходит в точку стороны CD;
9) Таким образом, каждая точка параллелограмма при преобразовании
симметрии относительно точки пересечения его диагоналей переходит
в другую точку параллелограмма, следовательно параллелограмм
является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в
точке пересечения диагоналей, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Следовательно, при центральной симметрии относительно точки $$O$$ вершина $$A$$ переходит в $$C$$, а вершина $$B$$ — в $$D$$.

Докажем, что при этой симметрии любая точка параллелограмма переходит в другую точку того же параллелограмма. Возьмём произвольную точку $$E$$ на стороне $$BC$$ и проведём прямую $$EO$$, которая пересечёт сторону $$AD$$ в точке $$F$$.

Рассмотрим треугольники $$AOF$$ и $$COE$$.

$$\angle AOF=\angle EOC$$ — вертикальные углы.

$$\angle AFO=\angle CEO$$ — внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$EF$$.

Значит, треугольники $$AOF$$ и $$COE$$ подобны, а так как $$AO=OC$$, то они равны. Отсюда

$$OF=OE.$$

Итак, точки $$E$$ и $$F$$ симметричны относительно точки $$O$$.

Аналогично доказывается, что любая точка стороны $$AB$$ переходит в точку стороны $$CD$$.

Следовательно, при центральной симметрии относительно точки $$O$$ весь параллелограмм переходит сам в себя. Значит, точка пересечения его диагоналей является центром симметрии параллелограмма.