Упр.9.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Следовательно, при центральной симметрии с центром $$O$$ точка $$A$$ переходит в точку $$C$$, а точка $$B$$ — в точку $$D$$.

Возьмём произвольную точку $$E$$ на стороне $$BC$$ и проведём прямую $$EO$$, которая пересечёт сторону $$AD$$ в точке $$F$$.

Рассмотрим треугольники $$AOF$$ и $$COE$$.

Имеем:

$$\angle AOF=\angle EOC$$ — вертикальные;
$$\angle AFO=\angle CEO$$ — как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$EF$$;
$$AO=OC$$.

Значит, $$\triangle AOF \cong \triangle COE$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда

$$OF=OE.$$

Следовательно, точки $$E$$ и $$F$$ симметричны относительно точки $$O$$.

Аналогично доказывается, что любая точка стороны $$AB$$ при центральной симметрии относительно $$O$$ переходит в точку стороны $$CD$$.

Итак, каждая точка параллелограмма при симметрии относительно точки пересечения диагоналей переходит в другую точку этого же параллелограмма. Значит, точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром симметрии.