Вопрос 8 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида $$ax+by+c=0$$.

Пусть дана произвольная прямая $$h$$ на плоскости $$xy$$. Проведём к ней перпендикуляр и отметим на нём от точки пересечения $$C$$ с прямой $$h$$ две точки $$A_1$$ и $$A_2$$ так, чтобы $$CA_1=CA_2$$. Обозначим их координаты: $$A_1(a_1;b_1)$$ и $$A_2(a_2;b_2)$$.

Точка $$A(x;y)$$ принадлежит прямой $$h$$ тогда и только тогда, когда она равноудалена от точек $$A_1$$ и $$A_2$$. Значит, для любой точки прямой $$h$$ выполняется равенство

$$(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=(x-a_2)^2+(y-b_2)^2.$$

Раскроем скобки и перенесём все члены в левую часть:

$$x^2-2a_1x+a_1^2+y^2-2b_1y+b_1^2-x^2+2a_2x-a_2^2-y^2+2b_2y-b_2^2=0,$$

$$2(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y+\bigl(a_1^2+b_1^2-a_2^2-b_2^2\bigr)=0.$$

Обозначив

$$a=2(a_2-a_1),\quad b=2(b_2-b_1),\quad c=a_1^2+b_1^2-a_2^2-b_2^2,$$

получаем уравнение вида

$$ax+by+c=0.$$

Следовательно, любая прямая в декартовых координатах задаётся уравнением вида $$ax+by+c=0$$.