Упр.5.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
I)
Выяснить: может ли окружность касаться прямой в двух точках;
Решение:
1) Пусть окружность с центром в точке O и прямая A касаются в
точках A и B;
2) Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к
точке касания, то: угол OAB = углу OBA=90°;
3) Таким образом, треугольник OAB имеет два прямых угла, что
невозможно, значит прямая и окружность могут иметь только
одну точку касания;
Ответ: не могут.
II)
Доказать: касательная к окружности не имеет с ней других общих
точек, кроме точки касания;
Доказательство:
1) Пусть a-касатеьная к окружности в точке A;
2) Допустим, касательная и окружность имеют, кроме точки A, общую
точку B, отличную от A;
3) Треугольник AOB равнобедренный с основанием AB (OA=OB=r),
значит у него углы A и B равны;
4) Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к
точке касания, то: угол OAB = углу OBA=90°, то есть у треугольник AOB два прямых
угла, что невозможно, значит касательная к окружности не имеет с ней
других общих точек, кроме точки касания, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Предположим, что окружность с центром $$O$$ касается прямой в двух точках $$A$$ и $$B$$.

Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:

$$\angle OAB=90^\circ,\qquad \angle OBA=90^\circ.$$

Но в треугольнике $$OAB$$ не может быть двух прямых углов. Противоречие. Значит, окружность не может касаться прямой в двух точках.

2) Пусть прямая $$a$$ касается окружности в точке $$A$$. Докажем, что других общих точек у них нет.

Допустим, что кроме точки $$A$$ есть ещё общая точка $$B$$, $$B\neq A$$. Тогда $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

Так как $$a$$ — касательная в точке $$A$$, то

$$OA\perp a,$$

следовательно, $$\angle OAB=90^\circ$$. Аналогично, если $$B$$ тоже точка пересечения прямой с окружностью, то $$OB\perp a$$ и $$\angle OBA=90^\circ$$.

Получаем, что в треугольнике $$AOB$$ два прямых угла, что невозможно. Следовательно, касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.