Упр.6.77 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 6-77. Середины сторон любого треугольника не могут лежать на одной прямой (по теореме 1.1). А могут ли основания высот треугольника лежать на одной прямой и в каком случае?

Да, могут, но только в случае прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$B$$. Тогда $$AB \perp BC$$. Значит, высота, опущенная из вершины $$A$$ на сторону $$BC$$, совпадает с прямой $$AB$$, а высота, опущенная из вершины $$C$$ на сторону $$AB$$, совпадает с прямой $$BC$$. Их основаниями будут точки $$B$$.

Проведём высоту $$BB_1$$ из вершины $$B$$ к гипотенузе $$AC$$. Тогда основания всех трёх высот лежат на одной прямой $$BB_1$$.

Ответ: могут, в случае прямоугольного треугольника.