Упр.6.75 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В общем случае на окружности Эйлера лежат девять точек (середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника). Сколько различных точек из них лежит на окружности Эйлера в случае равностороннего треугольника?

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник.

Проведём высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. В равностороннем треугольнике высоты одновременно являются медианами, поэтому точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — это и основания высот, и середины сторон треугольника.

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот — ортоцентр треугольника $$ABC$$.

Теперь рассмотрим середины отрезков $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$. Обозначим их через $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ соответственно.

В равностороннем треугольнике все три высоты совпадают с медианами, поэтому точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ различны, а точки $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$ также различны. Кроме того, эти шесть точек попарно различны.

Следовательно, на окружности Эйлера в случае равностороннего треугольника лежит $$6$$ различных точек.

Ответ: $$6$$.