Упр.6.75 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: сколько различных точек лежит на окружности Эйлера в случае
равностороннего треугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник;
2) Проведем высоты AA1, BB1 и CC1, они являются также и медианами,
следовательно точки A1, B1 и C1 одновременно являются и основаниями
высот и серединами сторон треугольника ABC;
3) Отметим точку H на пересечении высот, она является ортоцентром
треугольника ABC;
4) Отметим точки A2, B2, H2-середины отрезков AH, BH и CH;
5) Так как высоты уже пересекаются в точке H, то эти точки отличны
друг от друга;
6) Таким образом, на окружности Эйлера лежат шесть различных точек:
A1, A2, B1, B2, C1, C2;
Ответ: шесть.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник. Проведём его высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. В равностороннем треугольнике высоты одновременно являются медианами, поэтому точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ одновременно являются основаниями высот и серединами сторон треугольника $$ABC$$.

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот — ортоцентр треугольника. Тогда середины отрезков $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$ обозначим соответственно через $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$.

В равностороннем треугольнике все три высоты, три медианы и три биссектрисы совпадают, поэтому каждая из трёх вершин, соответствующая ей середина стороны и середина отрезка до ортоцентра дают по одной точке на окружности Эйлера. При этом все эти точки различны.

Следовательно, на окружности Эйлера лежат шесть различных точек: $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$.