Упр.6.74 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
- Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Проведём в треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$, пересекающиеся в точке $$M$$.
Пусть $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$AMB$$, параллельная стороне $$AB$$. Тогда $$P$$ — середина отрезка $$AM$$, а $$Q$$ — середина отрезка $$BM$$.
Рассмотрим четырёхугольник $$A_1B_1QP$$. Так как $$A_1B_1$$ и $$PQ$$ — средние линии треугольников $$ACB$$ и $$AMB$$ с общим основанием $$AB$$, то
$$A_1B_1 \parallel PQ,\qquad A_1B_1=PQ.$$
Следовательно, $$A_1B_1QP$$ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, точка $$M$$ — середина диагонали $$A_1P$$. Тогда
$$A_1M=MP.$$
Но $$P$$ — середина $$AM$$, поэтому
$$AP=PM.$$
Отсюда
$$AP=PM=A_1M,$$
то есть
$$AM=AP+PM=2\cdot A_1M.$$
Значит, точка $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$.
Аналогично получаем, что точка $$M$$ делит медиану $$BB_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$B$$.
Так как через две пересекающиеся медианы проходит одна и та же точка $$M$$, то и третья медиана треугольника также проходит через эту точку. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
