Упр.6.74 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказать: 1) Любые две медианы треугольника в точке их пересечения
делятся в отношении 2:1; 2) Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке;
Доказательство:
1) Проведем в треугольнике ABC медианы AA1 и BB1, пересекающиеся
в точке M;
2) Пусть PQ-средняя линия треугольника AMB, параллельная
стороне AB;
3) Четырехугольник A1 B1 PQ-параллелограмм, так как A1 B1 ||PQ и
A1 B1=PQ (как среднии линии ACB и AMB с общим основанием AB);
4) Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам, то A1 M=MP;
5) Точка P-середина отрезка AM (по построению), значит:
AP=PM=A1 M;
6) Таким образом, точка M пересечения медиан делит медиану AA1 в
отношении 2:1, считая от вершины A;
7) Медиану BB1 точка M делит в таком же отношении (BQ=QM=MB1);
8) Из этого следует, что медиана, проведенная из вершины C, также
проходит через точку M и делится ею в отношении 2:1, то есть все три
медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отошении 2:1, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Проведём в треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$, пересекающиеся в точке $$M$$.

2) Пусть $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$AMB$$, параллельная стороне $$AB$$.

3) Четырёхугольник $$A_1B_1PQ$$ — параллелограмм, так как $$A_1B_1 \parallel PQ$$ и $$A_1B_1 = PQ$$ (это средние линии треугольников $$ACB$$ и $$AMB$$ с общим основанием $$AB$$).

4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, $$A_1M = MP$$.

5) Точка $$P$$ — середина отрезка $$AM$$ по построению, следовательно, $$AP = PM$$. Тогда

$$AP = PM = A_1M.$$

Значит, точка $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$.

6) Аналогично точка $$M$$ делит медиану $$BB_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$B$$.

7) Следовательно, медиана, проведённая из вершины $$C$$, также проходит через точку $$M$$. Итак, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.