Упр.7.72 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Какой из углов больше — $$\alpha$$ или $$\beta$$, если:

1. $$\sin \alpha=\frac{1}{3}$$, $$\sin \beta=\frac{1}{4}$$;
2. $$\sin \alpha=\frac{2}{3}$$, $$\sin \beta=\frac{3}{4}$$;
3. $$\cos \alpha=\frac{3}{7}$$, $$\cos \beta=\frac{2}{5}$$;
4. $$\cos \alpha=0{,}75$$, $$\cos \beta=0{,}74$$;
5. $$\operatorname{tg}\alpha=2{,}1$$, $$\operatorname{tg}\beta=2{,}5$$;
6. $$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{8}{3}$$, $$\operatorname{ctg}\beta=\frac{5}{2}$$?

Согласно теореме 7.5 при возрастании угла $$\sin a$$ и $$\tg a$$ возрастают, а $$\cos a$$ и $$\ctg a$$ убывают.

1. $$\sin \alpha=\frac13,\quad \sin \beta=\frac14.$$

   Так как $$\frac13>\frac14,$$ то $$\sin \alpha>\sin \beta.$$ Следовательно, $$\alpha>\beta.$$

2. $$\sin \alpha=\frac23,\quad \sin \beta=\frac34.$$

   Так как $$\frac23<\frac34,$$ то $$\sin \alpha<\sin \beta.$$ Следовательно, $$\beta>\alpha.$$

3. $$\cos \alpha=\frac37,\quad \cos \beta=\frac25.$$

   Так как $$\frac37>\frac25,$$ то $$\cos \alpha>\cos \beta.$$ Косинус убывает при возрастании угла, значит, $$\beta>\alpha.$$

4. $$\cos \alpha=0{,}75,\quad \cos \beta=0{,}74.$$

   Так как $$0{,}75>0{,}74,$$ то $$\cos \alpha>\cos \beta.$$ Следовательно, $$\beta>\alpha.$$

5. $$\tg \alpha=2{,}1,\quad \tg \beta=2{,}5.$$

   Так как $$2{,}5>2{,}1,$$ то $$\tg \beta>\tg \alpha.$$ Тангенс возрастает при возрастании угла, значит, $$\beta>\alpha.$$

6. $$\ctg \alpha=\frac83,\quad \ctg \beta=\frac52.$$

   Так как $$\frac83>\frac52,$$ то $$\ctg \alpha>\ctg \beta.$$ Котангенс убывает при возрастании угла, значит, $$\beta>\alpha.$$

Ответ

1) $$\alpha>\beta$$; 2) $$\beta>\alpha$$; 3) $$\beta>\alpha$$; 4) $$\beta>\alpha$$; 5) $$\beta>\alpha$$; 6) $$\beta>\alpha$$.