Упр.6.72 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Пусть даны основания трапеции $$a$$ и $$b$$, где $$a>b$$, а также диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$.

1. На произвольной прямой построим отрезок $$AD=a$$.
2. На той же прямой отложим отрезок $$DK=b$$ так, чтобы точка $$K$$ не лежала на луче $$DA$$.
3. Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$d_1$$, а из точки $$K$$ — окружность радиуса $$d_2$$. Обозначим точку их пересечения через $$C$$.
4. Из точки $$D$$ проведём окружность радиуса $$d_2$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$b$$. Обозначим точку их пересечения через $$B$$.

Тогда $$DB=d_2$$ и $$CK=d_2$$, а также $$BC=b$$ и $$DK=b$$. Следовательно, четырёхугольник $$DBCK$$ — параллелограмм, значит $$BC\parallel DK$$.

Так как точки $$D$$, $$K$$ лежат на одной прямой с точками $$A$$ и $$D$$, то $$DK$$ коллинеарен $$AD$$. Поэтому $$BC\parallel AD$$.

Кроме того, $$AB=d_1$$ и $$CD=d_2$$, то есть построенные отрезки являются диагоналями искомой трапеции.

Итак, $$ABCD$$ — искомая трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$.