Вопрос 7 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите неравенство треугольника: каковы бы ни были три точки, расстояние между двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

Пусть $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — три точки.

Если какие-либо две точки совпадают или совпадают все три точки, то неравенство треугольника выполняется очевидно.

Рассмотрим два случая.

1. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой. Тогда одна из них, например $$B$$, находится между двумя другими. Поэтому

   $$AB+BC=AC.$$

   Отсюда следует, что каждое из расстояний между двумя точками не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

2. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ не лежат на одной прямой. Проведём из точки $$C$$ перпендикуляр $$CD$$ к прямой $$AB$$.

   Тогда

   $$AB=AD+DB.$$

   Так как наклонная больше своей проекции, то

   $$AD<AC,\qquad BD<BC.$$

   Складывая эти неравенства, получаем

   $$AB=AD+DB<AC+BC.$$

   Аналогично доказываются неравенства $$AC<AB+BC$$ и $$BC<AB+AC$$.

Следовательно, расстояние между двумя из трёх точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Неравенство треугольника доказано.