Упр.15.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

1) АВ = 15 см, АА1: АС — 2:3; 2) АВ = 8 см, АА1: А1С =5:3; 3) В1С = 10 см, АВ : ВС = 4:5; 4) АА1 = а, АВ = b, А1С = с.
Дано: плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC
треугольника ABC в точке A1,а сторону BC-в точке B1;
Найти: длину отрезка A1 B1;
Решение:
Согласно теореме 15.1 через точки A, B и C можно провести плоскость Альфа;
Тогда по теореме 15.2 прямые AB, BC и AC лежат в плоскости Альфа, а значит
и отрезки AB, BC и AC лежат в этой плоскости;
Пусть Бетта-плоскость, параллельная прямой AB, которая пересекает
сторону AC этого треугольника в точке A1,а сторону BC-в точке B1;
Прямая A1 B1 лежит в плоскости Бетта, значит она параллельна прямой AB;
Точки A1 и B1 лежат на отрезках AC и BC, значит они принадлежат
плоскости Альфа, тогда и прямая A1 B1 принадлежит плоскости Альфа;
Таким образом, в треугольнике ABC прямая A1 B1 проходит параллельно
основанию AB;
Рассмотрим параллельные прямые AB и A1 B1 и секущую AC:
BAC=B1A1C (как соответственные углы);
Тогда треугольник ABC подобен треугольнику ?A1 B1 C по двум углам (угол C-общий), отсюда:
AB/(A1 B1 )=BC/(B1 C)=AC/(A1 C);

Подробный ответ

Так как плоскость пересекает стороны $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$A_1$$ и $$B_1$$ и параллельна прямой $$AB$$, то прямая $$A_1B_1$$ параллельна $$AB$$. Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$ подобны.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{BC}{B_1C}.$$

1) $$AB=15\text{ см},\quad AA_1:AC=2:3.$$

Пусть $$AA_1=2x$$, тогда $$AC=3x$$, а значит

$$A_1C=AC-AA_1=3x-2x=x.$$

Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{3x}{x}=3,$$

откуда

$$A_1B_1=\frac{AB}{3}=\frac{15}{3}=5\text{ см}.$$

2) $$AB=8\text{ см},\quad AA_1:A_1C=5:3.$$

Пусть $$AA_1=5x$$, $$A_1C=3x$$, тогда

$$AC=AA_1+A_1C=5x+3x=8x.$$