Вопрос 7 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. По условию $$OA=OC$$ и $$OB=OD$$.
Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COB$$. У них:
- $$OA=OC$$;
- $$OD=OB$$;
- $$\angle AOD=\angle COB$$ как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle AOD=\triangle COB$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда $$\angle ODA=\angle OBC$$.
Углы $$\angle ODA$$ и $$\angle OBC$$ — накрест лежащие при прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$BD$$, значит, $$AD\parallel BC$$.
Аналогично, рассматривая треугольники $$AOB$$ и $$COD$$, получаем их равенство, откуда $$AB\parallel CD$$.
Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.
Ответ
Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
