Упр.13.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если концы ломаной лежат по разные стороны от данной
прямой, то она пересекает эту прямую;
Доказательство:
1) Пусть c-данная прямая, которая разбивает плоскость на две
полуплоскости Альфа и Бетта, а A1 A2…An-данная ломаная, у которой:
конец A1 лежит в полуплоскости Альфа, а конец An-в полуплоскости Бетта;
2) Все вершины данной ломаной принадлежат, либо полуплоскости Альфа,
либо полуплоскости Бетта, либо прямой c;
3) В случае, когда по крайней мере одна вершина Ak ломаной A1 A2…An
принадлежит прямой c, данная ломаная пересекает прямую c в точке Ak;
4) В ином случае, последовательно рассматривая вершины ломаной,
найдем такую вершину Ak, лежащую в полуплоскости Альфа, для которой
вершина A(k+1) лежит в полуплоскости Бетта;
5) Так как концы отрезка Ak A(k+1) лежат в различных полуплоскостях,
на которые разбивает плоскость прямая c, то он пересекает эту прямую;
6) Отрезок Ak A(k+1) является частью данной ломаной, следовательно она
также пересекает прямую c, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$c$$ — данная прямая, которая разбивает плоскость на две полуплоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$. Рассмотрим ломаную $$A_1A_2\dots A_n$$, у которой точка $$A_1$$ лежит в полуплоскости $$\alpha$$, а точка $$A_n$$ — в полуплоскости $$\beta$$.

Все вершины ломаной принадлежат либо полуплоскости $$\alpha$$, либо полуплоскости $$\beta$$, либо прямой $$c$$.

Если хотя бы одна вершина $$A_k$$ лежит на прямой $$c$$, то ломаная пересекает прямую $$c$$ в точке $$A_k$$.

Рассмотрим теперь случай, когда ни одна вершина ломаной не лежит на прямой $$c$$. Тогда, двигаясь от $$A_1$$ к $$A_n$$, мы обязательно найдём такую соседнюю пару вершин $$A_k$$ и $$A_{k+1}$$, что $$A_k \in \alpha$$, а $$A_{k+1} \in \beta$$.

Но отрезок с концами в разных полуплоскостях, на которые прямая $$c$$ разбивает плоскость, пересекает эту прямую. Значит, отрезок $$A_kA_{k+1}$$ пересекает $$c$$.

Так как $$A_kA_{k+1}$$ является частью данной ломаной, то и вся ломаная пересекает прямую $$c$$.