Упр.12.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 7. Даны стороны треугольника а, b, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.

Подробный ответ

Обозначим стороны треугольника так: $$AB=c,$$ $$AC=b,$$ $$BC=a.$$ Опустим высоту $$CD$$ на сторону $$AB.$$ Тогда в прямоугольных треугольниках $$ADC$$ и $$BDC$$ по теореме Пифагора имеем:

$$AD^2+CD^2=b^2,$$
$$BD^2+CD^2=a^2.$$

Кроме того, $$AD+BD=AB=c.$$ Выразим $$AD$$ и $$BD$$ через стороны треугольника по теореме косинусов:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle A,$$
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \angle B.$$

Удобнее сразу воспользоваться формулой для высоты через стороны треугольника. Из равенства площадей:

$$S=\frac12 ch,$$
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр. Тогда

$$h=\frac{2S}{c}=\frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

Подставим $$p=\frac{a+b+c}{2}$$:

$$h=\frac{2}{c}\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{b+c-a}{2}\cdot \frac{a+c-b}{2}\cdot \frac{a+b-c}{2}}.$$

После упрощения получаем:

$$h=\frac{1}{2c}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}.$$