Упр.5.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Подробный ответ

Пусть дан треугольник $$ABC$$. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно и проведём через эти точки перпендикуляры к данным сторонам.

Эти перпендикуляры пересекутся в точке $$O$$. Такая точка единственна, так как две прямые могут иметь только одну общую точку.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB_1$$ и $$COB_1$$. У них

$$OB_1$$ — общий катет,

$$B_1A = B_1C$$, так как $$B_1$$ — середина $$AC$$.

Следовательно, $$\triangle AOB_1 \cong \triangle COB_1$$ по двум катетам, откуда

$$AO=OC.$$

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$COA_1$$ и $$BOA_1$$ получаем

$$OC=OB.$$

Значит,

$$AO=BO=CO.$$

Точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$, поэтому она является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Поскольку точка $$O$$ единственна, такая окружность тоже единственна.

Ответ: около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.