Упр.11.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: фигура, подобная окружности, есть окружность;
Доказательство:
1) Возьмем произвольную окружность с центром в точке O и радиусом R,
то есть каждая точка этой окружности удалена от точки O на расстояние R;
2) Подвергнем данную окружность какому-нибудь преобразованию
подобия с произвольным коэффициентом k, тогда точка O перейдет в
точку O1;
4) При преобразовании подобия расстояния между соответствующими
точками пропорциональны, значит каждая точка исходной окружности
перейдет в точку, удаленную от точки O1 на расстояние kR, следовательно
эта фигура является окружностью по определению, что и требовалось
Доказать.

Возьмём произвольную окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. Тогда каждая её точка удалена от точки $$O$$ на расстояние $$R$$.

Пусть эта окружность подверглась преобразованию подобия с коэффициентом $$k$$. Тогда точка $$O$$ перейдёт в точку $$O_1$$.

При преобразовании подобия расстояния между соответствующими точками умножаются на $$k$$. Значит, каждая точка исходной окружности перейдёт в точку, удалённую от $$O_1$$ на расстояние $$kR$$.

Следовательно, образ данной окружности состоит из всех точек, равноудалённых от точки $$O_1$$ на одно и то же расстояние $$kR$$, то есть является окружностью.

Ответ

Фигура, подобная окружности, есть окружность.