Упр.15.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Плоскость, параллельная прямой $$AB$$, пересекает сторону $$AC$$ этого треугольника в точке $$A_1$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Найдите длину отрезка $$A_1B_1$$, если:
   1) $$AB=15\ \text{см},\quad AA_1:AC=2:3$$;
   2) $$AB=8\ \text{см},\quad AA_1:A_1C=5:3$$;
   3) $$B_1C=10\ \text{см},\quad AB:BC=4:5$$;
   4) $$AA_1=a,\quad AB=b,\quad A_1C=c$$.

Так как плоскость пересекает стороны $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$, то линия их пересечения с этой плоскостью — отрезок $$A_1B_1$$. Поскольку плоскость параллельна прямой $$AB$$, то $$A_1B_1 \parallel AB$$.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$ подобны, и

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{BC}{B_1C}.$$

1. $$AB=15\text{ см},\quad AA_1:AC=2:3.$$

   Пусть $$AA_1=2x$$, тогда $$AC=3x$$, значит $$A_1C=AC-AA_1=x$$.

   Из подобия:

   $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{3x}{x}=3,$$

   откуда

   $$A_1B_1=\frac{AB}{3}=\frac{15}{3}=5\text{ см}.$$

2. $$AB=8\text{ см},\quad AA_1:A_1C=5:3.$$

   Пусть $$AA_1=5x$$, $$A_1C=3x$$, тогда $$AC=8x$$.

   Из подобия:

   $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{8x}{3x}=\frac{8}{3},$$

   следовательно,

   $$A_1B_1=AB\cdot \frac{A_1C}{AC}=8\cdot \frac{3}{8}=3\text{ см}.$$

3. $$B_1C=10\text{ см},\quad AB:BC=4:5.$$

   Пусть $$AB=4x$$, $$BC=5x$$.

   Из подобия:

   $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C},$$

   откуда

   $$A_1B_1=\frac{AB\cdot B_1C}{BC}=\frac{4x\cdot 10}{5x}=8\text{ см}.$$

4. $$AA_1=a,\quad AB=b,\quad A_1C=c.$$

   Тогда

   $$AC=AA_1+A_1C=a+c.$$

   По подобию треугольников:

   $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C},$$

   значит

   $$A_1B_1=\frac{AB\cdot A_1C}{AC}=\frac{bc}{a+c}.$$

Ответ: 1) $$5\text{ см}$$; 2) $$3\text{ см}$$; 3) $$8\text{ см}$$; 4) $$\frac{bc}{a+c}$$.