Вопрос 7 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой,
то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних
односторонних углов равна 180°;
Доказательство:
1) Пусть a и b-параллельные прямые, а c-прямая, пересекающая их
в точках A и B;
2) Проведем через точку A прямую a1 так, чтобы внутренние накрест
лежащие углы, образованные секущей c и прямыми a1 и b были равны;
3) По признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны;
4) Так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная
прямой b, то прямые a и a1 совпадают, первое утверждение доказано;
5) Если накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односто-
ронних углов равна 180° (теорема 4.2), что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ и $$b$$ — параллельные прямые, а $$c$$ — секущая, пересекающая их в точках $$A$$ и $$B$$.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$a_1$$ так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные прямой $$c$$ и прямыми $$a_1$$ и $$b$$, были равны.

Тогда по признаку параллельности прямых $$a_1 \parallel b$$.

Но через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, параллельную прямой $$b$$. Значит, $$a_1$$ совпадает с $$a$$. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны.

Теперь рассмотрим внутренние односторонние углы. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$ по теореме о сумме односторонних углов при параллельных прямых и секущей.