Упр.13.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую (рис. 294).

Пусть $$c$$ — данная прямая, которая разбивает плоскость на две полуплоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$. Рассмотрим ломаную $$A_1A_2\dots A_n$$, у которой точка $$A_1$$ лежит в полуплоскости $$\alpha$$, а точка $$A_n$$ — в полуплоскости $$\beta$$.

Все вершины ломаной принадлежат либо полуплоскости $$\alpha$$, либо полуплоскости $$\beta$$, либо прямой $$c$$.

Если хотя бы одна вершина $$A_k$$ лежит на прямой $$c$$, то ломаная пересекает прямую $$c$$ в точке $$A_k$$.

Если же ни одна вершина не лежит на $$c$$, то, последовательно рассматривая вершины ломаной, найдём такую вершину $$A_k$$, которая лежит в полуплоскости $$\alpha$$, а следующая вершина $$A_{k+1}$$ — в полуплоскости $$\beta$$.

Тогда отрезок $$A_kA_{k+1}$$ имеет концы в разных полуплоскостях, значит, он пересекает прямую $$c$$. Но этот отрезок является частью ломаной, следовательно, и вся ломаная пересекает прямую $$c$$.

Таким образом, если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то ломаная пересекает эту прямую.