Вопрос 7 Параграф 2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: вертикальные углы равны;
Доказательство:
1) Пусть (a1 b1) и (a2 b2)-данные вертикальные углы;
2) Угол (a1 b2) является смежным с углом (a1 b1) и с углом (a2 b2),
отсюда по теореме о сумме смежных углов следует, что:
угол (a1 b2)+ угол (a2 b2) = углу (a1 b2)+ угол (a1 b1)=180°;
угол (a2 b2) = углу (a1 b1)=180°- угол (a1 b2), что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$\angle(a_1b_1)$$ и $$\angle(a_2b_2)$$ — вертикальные углы.

Угол $$\angle(a_1b_2)$$ смежный с углом $$\angle(a_1b_1)$$ и с углом $$\angle(a_2b_2)$$. Поэтому по теореме о сумме смежных углов имеем:

$$\angle(a_1b_2)+\angle(a_1b_1)=180^\circ,$$

$$\angle(a_1b_2)+\angle(a_2b_2)=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle(a_1b_1)=180^\circ-\angle(a_1b_2),$$

$$\angle(a_2b_2)=180^\circ-\angle(a_1b_2).$$

Значит,

$$\angle(a_1b_1)=\angle(a_2b_2).$$

Итак, вертикальные углы равны.