Упр.12.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны стороны треугольника $$a$$, $$b$$, $$c$$. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону $$c$$.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=c$$, $$AC=b$$, $$BC=a$$. Опустим высоту $$CD$$ на сторону $$AB$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках $$ADC$$ и $$BDC$$ по теореме Пифагора имеем:

$$CD^2=AC^2-AD^2=b^2-AD^2,$$

$$CD^2=BC^2-BD^2=a^2-BD^2.$$

Найдём $$AD$$ и $$BD$$ через теорему косинусов.

Для треугольника $$ADC$$:

$$a^2=b^2+c^2-2c\cdot AD,$$

$$AD=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}.$$

Для треугольника $$BDC$$:

$$b^2=a^2+c^2-2c\cdot BD,$$

$$BD=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}.$$

Теперь подставим в формулу Пифагора:

$$CD=\sqrt{b^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)^2}.$$

Аналогично можно получить и вторую запись:

$$CD=\sqrt{a^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}\right)^2}.$$

Ответ: $$CD=\sqrt{b^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)^2}$$ или $$CD=\sqrt{a^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}\right)^2}$$.