Упр.11.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.

Возьмём произвольную окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. Тогда каждая её точка удалена от $$O$$ на расстояние $$R$$.

Пусть эта окружность подверглась преобразованию подобия с коэффициентом $$k$$. Тогда центр $$O$$ перейдёт в точку $$O_1$$, а расстояния между соответствующими точками изменятся в $$k$$ раз.

Следовательно, образ любой точки исходной окружности будет удалён от точки $$O_1$$ на расстояние $$kR$$. Значит, все точки полученной фигуры равноудалены от одной точки $$O_1$$, то есть эта фигура является окружностью.

Таким образом, фигура, подобная окружности, есть окружность.