Вопрос 7 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Подробный ответ

Признак подобия треугольников по двум углам формулируется так: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Докажем это.

Пусть у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Построим треугольник $$A_2B_2C_2$$, подобный треугольнику $$A_1B_1C_1$$ с коэффициентом

$$k=\frac{AB}{A_1B_1}.$$

Тогда по свойству подобия

$$\angle A_2=\angle A_1=\angle A,\qquad \angle B_2=\angle B_1=\angle B,$$

а также

$$A_2B_2=k\cdot A_1B_1=\frac{AB}{A_1B_1}\cdot A_1B_1=AB.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны по второму признаку равенства треугольников: у них равны сторона $$AB=A_2B_2$$ и прилежащие к ней углы.

Но треугольники $$A_2B_2C_2$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны по построению. Значит, треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$A_1B_1C_1$$.

Таким образом, если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.