Упр.9.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Может ли у треугольника быть центр симметрии?

Предположим, что у треугольника $$ABC$$ есть центр симметрии $$O$$. Тогда при центральной симметрии каждая вершина треугольника должна перейти в другую вершину или в саму себя.

Но вершина треугольника не может перейти сама в себя, так как тогда она совпала бы с центром симметрии, а все три вершины лежат не на одной прямой.

Значит, вершины $$A$$, $$B$$, $$C$$ должны попарно переходить друг в друга. Если, например, $$A$$ переходит в $$B$$, то точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда вершина $$C$$ должна перейти в какую-то другую вершину, но для этого ей нужно иметь пару среди оставшихся вершин, чего уже нет.

Получаем противоречие. Следовательно, у треугольника центра симметрии быть не может.

Ответ

Не может.