Упр.5.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: около любого треугольника можно описать окружность,
и только одну;
Доказательство:
1) Пусть ABC данный треугольник;
2) Отметим точки A1 и B1 середины сторон BC и AC, проведем через
эти точки перпендикуляры к сторонам треугольника, на которых
они лежат;
3) Эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке O, так как
прмые могут пересекаться только в одной точке, то она единственная;
4) Прямоугольные треугольники AOB1 и COB1 равны по двум катетам
(OB1-общий катет), отсюда AO=OC;
5) Прямоугольные треугольники COA1 и BOA1 равны по двум катетам
(OA1-общий катет), отсюда OC=OB;
6) Таким образом, точка O равноудаленна от вершин треугольника
ABC, следовательно она является центром описанной около этого
треугольника окружности и при этом единственной (пункт 3), что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно и проведём через эти точки перпендикуляры к данным сторонам.

Эти перпендикуляры пересекутся в точке $$O$$. Точка пересечения двух прямых единственна, значит, $$O$$ определена однозначно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB_1$$ и $$COB_1$$. У них:

$$OB_1$$ — общий катет;
$$B_1A = B_1C$$, так как $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$;
$$\angle OB_1A = \angle OB_1C = 90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AOB_1 \cong \triangle COB_1$$ по двум катетам, откуда $$AO=OC$$.

Аналогично, для прямоугольных треугольников $$COA_1$$ и $$BOA_1$$ имеем:

$$OA_1$$ — общий катет;
$$A_1C = A_1B$$, так как $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$;
$$\angle OA_1C = \angle OA_1B = 90^\circ$$.

Значит, $$\triangle COA_1 \cong \triangle BOA_1$$ по двум катетам, откуда $$OC=OB$$.

Итак, $$AO=BO=CO$$. Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$, значит, она является центром окружности, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

Так как точка $$O$$ определена единственным образом, то и описанная около треугольника окружность единственна.