Упр.11.69 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте геометрическое место точек, из которых отрезок $$AB$$ виден под углом, равным углу $$A$$ этого треугольника.

Построим точку $$A_1$$ на прямой $$AC$$ так, чтобы $$BA_1=BA$$. Тогда треугольник $$ABA_1$$ равнобедренный, следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle AA_1B=\angle A.$$

Теперь рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABA_1$$. Для любой точки $$X$$ на дуге этой окружности, содержащей точку $$A_1$$, угол $$AXB$$ — вписанный и опирается на хорду $$AB$$. Поэтому

$$\angle AXB=\angle AA_1B=\angle A.$$

Значит, искомое геометрическое место точек — дуга окружности, проходящая через точки $$A$$ и $$B$$ и содержащая точку $$A_1$$.