Упр.7.69 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 69. У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие стороны этого треугольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 pogorelov7-9 7-69 76

Обозначим данный треугольник $$ABC$$, где $$AB=1\text{ м}$$, $$\angle A=30^\circ$$, $$\angle B=45^\circ$$. Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CH$$ на сторону $$AB$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCH$$. Так как $$\angle B=45^\circ$$, то

$$\tan \angle B=\frac{CH}{BH}=\tan 45^\circ=1,$$

значит, $$CH=BH$$. Пусть $$BH=x$$, тогда $$AH=1-x$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. Для угла $$A$$ имеем

$$\tan \angle A=\frac{CH}{AH}=\frac{x}{1-x}=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда

$$\frac{x}{1-x}=\frac{1}{\sqrt{3}} \;\Rightarrow\; x\sqrt{3}=1-x \;\Rightarrow\; x(\sqrt{3}+1)=1,$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

Тогда

$$CH=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

Найдём боковые стороны треугольника.

В треугольнике $$ACH$$:

$$\sin \angle A=\frac{CH}{AC},$$

поэтому

$$AC=\frac{CH}{\sin 30^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac12}=\sqrt{3}-1.$$

В треугольнике $$BCH$$:

$$\sin \angle B=\frac{CH}{BC},$$

следовательно,

$$BC=\frac{CH}{\sin 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}.$$

Итак, другие стороны треугольника равны $$AC=\sqrt{3}-1$$ и $$BC=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$$.

Ответ

$$\sqrt{3}-1\text{ м},\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\text{ м}.$$