Упр.7.69 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. У треугольника одна из сторон равна $$1\ \text{м}$$, а прилежащие к ней углы равны $$30^\circ$$ и $$45^\circ$$. Найдите другие стороны этого треугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=1\text{ м}$$, $$\angle A=30^\circ$$, $$\angle B=45^\circ$$. Опустим высоту $$CH$$ на сторону $$AB$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHC$$. Тогда

$$\tg \angle B=\frac{CH}{BH}$$

Так как $$\angle B=45^\circ$$, то

$$\tg 45^\circ=1,\quad CH=BH.$$

Обозначим $$BH=x$$. Тогда $$AH=1-x$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. Имеем

$$\tg \angle A=\frac{CH}{AH}=\frac{x}{1-x}$$

С другой стороны,

$$\tg 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{1-x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$x\sqrt{3}=1-x$$

$$x(\sqrt{3}+1)=1$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

Значит,

$$CH=BH=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

Найдём боковые стороны.

В треугольнике $$ACH$$:

$$AC=\frac{CH}{\sin \angle A}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sin 30^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac12}=\sqrt{3}-1.$$

В треугольнике $$BCH$$:

$$BC=\frac{CH}{\sin \angle B}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sin 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}.$$

Ответ: $$AC=\sqrt{3}-1\text{ м},\quad BC=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\text{ м}.$$