Упр.11.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Угол между касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен $$50^\circ$$. Найдите градусные меры дуг этой окружности, заключённых между точками касания.

Пусть $$C$$ — точка, из которой проведены касательные, а $$A$$ и $$B$$ — точки касания.

Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то $$CA=CB$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle CAB=\angle CBA=\frac{180^\circ-\angle ACB}{2}=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.$$

Угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги, значит меньшая дуга $$AB$$ равна

$$2\cdot 65^\circ=130^\circ.$$

Тогда большая дуга равна

$$360^\circ-130^\circ=230^\circ.$$

Ответ: $$130^\circ$$ и $$230^\circ$$.