Упр.6.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на $$1{,}6$$ м и $$0{,}6$$ м. Найдите длину диаметра.

Пусть дана окружность с центром в точке $$O$$, касательная $$a$$ касается её в точке $$H$$, а $$AB$$ — диаметр.

Из свойств касательной имеем $$OH \perp a$$. Опустим из точек $$A$$ и $$B$$ перпендикуляры $$AD$$ и $$BC$$ на прямую $$a$$. Тогда $$AD=1{,}6$$ м, $$BC=0{,}6$$ м, а также $$AD \parallel OH \parallel BC$$.

Так как $$AO=OB$$, то точка $$O$$ лежит посередине отрезка, соединяющего середины параллельных сторон трапеции $$ADCB$$. Следовательно, $$OH$$ — средняя линия этой трапеции, и

$$OH=\frac{AD+BC}{2}.$$

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу:

$$AB=2OH=AD+BC=1{,}6+0{,}6=2{,}2\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}2\text{ м}$$.