Упр.11.67 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Хорда делит окружность на части, отношение которых равно $$3:7$$. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательной к окружности, проведённой в её конце.

Пусть меньшая дуга равна $$x^\circ$$, тогда большая дуга равна $$3x^\circ$$. Так как сумма дуг окружности равна $$360^\circ$$, получаем

$$x+3x=360^\circ,$$

$$4x=360^\circ,$$

$$x=90^\circ.$$

Значит, большая дуга равна

$$3x=270^\circ.$$

Угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги. Поэтому один из углов равен

$$\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ,$$

а другой —

$$\frac{1}{2}\cdot 270^\circ=135^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$ и $$135^\circ$$.