Упр.7.67 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите радиус $$r$$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $$a$$, и радиус $$R$$ окружности, описанной около него.
Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$. Проведём высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Они пересекутся в точке $$O$$.
Так как треугольник равносторонний, то высоты являются одновременно медианами и биссектрисами. Значит, $$B_1C=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$:
$$BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Точка $$O$$ — центр вписанной и описанной окружностей. В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому
$$R=OB=\frac{2}{3}\,BB_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$
$$r=OO_{1}=\frac{1}{3}\,BB_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$
Ответ: $$R=\frac{a}{\sqrt{3}},\quad r=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$
