Упр.11.67 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 67. Хорда делит окружность на части, отношение которых равно 3:7. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательной к окружности, проведённой в её конце.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$AB$$ — данная хорда, $$BC$$ — касательная в точке $$B$$.

Хорда делит окружность на две дуги, отношение которых равно $$3:7$$. Тогда соответствующие центральные углы также относятся как $$3:7$$. Обозначим меньший центральный угол через $$x$$, тогда больший равен $$360^\circ-x$$.

По условию:

$$x:(360^\circ-x)=3:7.$$

Отсюда

$$7x=3(360^\circ-x),$$

$$7x=1080^\circ-3x,$$

$$10x=1080^\circ,$$

$$x=108^\circ.$$

Тогда второй центральный угол равен

$$360^\circ-108^\circ=252^\circ.$$

Угол между хордой и касательной равен половине соответствующей дуги, то есть половине соответствующего центрального угла. Поэтому искомые углы равны:

$$\frac{108^\circ}{2}=54^\circ,$$

$$\frac{252^\circ}{2}=126^\circ.$$