Упр.11.66 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Продолжения хорд пересекаются вне окружности под углом $$60^\circ$$. Найдите градусные меры двух дуг, заключённых между сторонами этого угла, если они относятся как $$1:3$$.

Пусть меры искомых дуг равны $$x$$ и $$3x$$, так как по условию они относятся как $$1:3$$.

Для угла, образованного продолжениями двух хорд вне окружности, выполняется формула:

$$\angle = \frac{1}{2}\left(\text{большая дуга} — \text{меньшая дуга}\right).$$

Значит,

$$60^\circ=\frac{1}{2}(3x-x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x.$$

Следовательно, $$x=60^\circ$$, а вторая дуга равна

$$3x=3\cdot 60^\circ=180^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$ и $$180^\circ$$.