Упр.15.66 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 66. Поверхности двух шаров относятся как m : n. Как относятся их объёмы?

Подробный ответ

Пусть $$R_1$$ и $$R_2$$ — радиусы этих шаров. Площадь поверхности шара выражается формулой $$S=4\pi R^2$$, поэтому

$$ \frac{S_2}{S_1}=\frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2}=\frac{m}{n}. $$

Отсюда

$$ \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=\frac{m}{n}, \qquad \frac{R_2}{R_1}=\sqrt{\frac{m}{n}}. $$

Объём шара вычисляется по формуле $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$, значит

$$ \frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} =\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 =\left(\sqrt{\frac{m}{n}}\right)^3 =\frac{\sqrt{m^3}}{\sqrt{n^3}}. $$

Следовательно, объёмы шаров относятся как $$\sqrt{m^3}:\sqrt{n^3}$$.